10.1: 相互恒等式とピタゴラス恒等式 (2023)

三角恒等式の最も基本的な 2 つのタイプは、逆数恒等式とピタゴラス恒等式です。逆数恒等式は、3 つの標準的な三角比の逆数を単に定義したものです。
\[ \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \quad \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta} \quad \cot \theta=\frac{1}{\タン \シータ}
\]

また、3 つの標準的な三角比 (サイン、コサイン、タンジェント) の定義を思い出してください。
\[ \begin{配列}{l}
\sin \theta=\fraction p p}{h y p} \\
\cos \theta=\j}{h と p の一部} \\
\tan \theta=\fraction p p}{ad y}
\end{配列}
\]

サイン、コサイン、タンジェントの関係を詳しく見てみると、 \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\) であることがわかります。
\[ \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\left(\frac{op p}{h y p}\right)}{\left(\frac{ad j}{h y p}\right) }=\frac{o p p}{h y p} * \frac{h y p}{ad j}=\frac{op p}{ad j}=\tan \theta
\]

ピタゴラスのアイデンティティ
ピタゴラスの恒等式は、もちろんピタゴラスの定理に基づいています。 \(2,\) 章で紹介した図を思い出してみると、図内の関係からこれらのアイデンティティを構築できます。

この図でピタゴラスの定理を使用すると、 \(x^{2}+y^{2}=1^{2},\) したがって、 \(x^{2}+y^{2}=1 . \) ただし、単位円では \(x=\cos \theta\) と \(y=\sin \theta\) であることも覚えておいてください。

この等式を代入すると、最初のピタゴラス恒等式が得られます。
\[ x^{2}+y^{2}=1
\] また
\[ \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1
\] このアイデンティティは通常、次の形式で記述されます。
\[ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1
\]

この恒等式を取得し、両側を \(\cos ^{2} \theta,\) で割ると、追加の 2 つのピタゴラス恒等式のうちの最初の結果が得られます。
\[ \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}+\frac{\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta}=\frac {1}{\cos ^{2} \theta }
\] また
\[ \tan ^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta
\]

\(\sin ^{2} \theta\) で割ると、2 番目の値が得られます。
\[ \frac{\sin ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\frac {1}{\sin ^{2} \theta}
\] また
\[ 1+\cot ^{2} \theta=\csc ^{2} \theta
\] したがって、使用する 3 つのピタゴラス恒等式は次のとおりです。
\[ \begin{配列}{l}
\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1 \\
\tan ^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta \\
1+\cot ^{2} \theta=\csc ^{2} \theta
\end{配列}
\]

これらのピタゴラス的アイデンティティは、次のような他の用語で表現されることがよくあります。
\[ \begin{配列}{l}
\sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta \\
\cos ^{2} \theta=1-\sin ^{2} \theta \\
\tan ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta-1 \\
\cot ^{2} \theta=\csc ^{2} \theta-1
\end{配列}
\]

この章の冒頭で、三角関数の恒等性の検証について説明しました。作業する基本的なアイデンティティがいくつか得られたので、それらを使用して、より複雑なステートメントの等価性を検証してみましょう。三角関数の恒等性を検証するプロセスには、指定された式の一方の側をもう一方の側に変更することが含まれます。これらは実際には方程式ではないため、方程式を扱うようには扱いません。つまり、ステートメントの両側で何も加算したり減算したりしません (または、両側で何かを乗算または除算することもありません)。

三角関数の恒等式を方程式として扱わないもう 1 つの理由は、実際には、このプロセスには通常、ステートメントの片側だけが含まれるためです。問題解決において、数学者は通常、三角恒等式を使用して、問題の値を変えずに問題の外観を変更します。このプロセスでは、2 つの三角関数式が同じであることを示すのではなく、三角関数式を別の三角関数式に変更します。これを実行します。

例1
身元を確認します \((\sin \theta)(\cot \theta)=\cos \theta\)
これは非常に単純な恒等式であり、三角関数恒等式を扱うための基本的なアプローチの 1 つを使用することで解決できます。これは、サインとコサインの観点からすべてを記述するアプローチです。

元のステートメントから始めます:
\[ (\sin \theta)(\cot \theta)=\cos \theta
\] \(\cot \theta\) を \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) に置き換えます
\[ (\sin \theta) \frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\cos \theta
\] 次に、\(\sin \theta:\) をキャンセルします。
\[ \cos \theta=\cos \theta
\]

三角関数の恒等性を検証するには、次の 4 つの基本的なアプローチがあります。
1. すべてをサインとコサインで書きます
2. 公分母を作り、分数を足します
3. 分数を分割する
4. 因数分解とキャンセル
すべての問題でこれらすべてを使用できるわけではなく、問題によってはこれらの戦略を組み合わせて使用​​することもあります。別の例を次に示します。

例 2
身元を確認します \(\tan \theta+\cot \theta=\sec \theta \csc \theta\)
まず、すべてをサインとコサインで書きます。
\[ \begin{配列}{l}
\tan \theta+\cot \theta=\sec \theta \csc \theta \\
\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\罪\シータ}
\end{配列}
\]

次に、左側で、公分母 \(\cos \theta \sin \theta\) を作ることで 2 つの分数を加算できます。
\begin{整列}
\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} &=\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{ \sin \θ} \\
\frac{\sin \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{ \cos \theta}{\cos \theta} &=\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta} \\
\frac{\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta} &=\frac{ 1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta} \\
\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta} &=\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1} {\sin \theta} \\
\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} &=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}
\end{整列}

この例では、最初にすべてをサインとコサインで記述し、次に共通の分母を作成し、左側の分数を加算したことがわかります。これが基本的なピタゴラス恒等式であるため、これが完了したら、式 \(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\) を \(1,\) に置き換えることができます。

例 3
身元を確認します \(\frac{\tan \theta-\cot \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\)
この問題は、分母を分母で分割することから始めます。これは、分母に加算または減算がない問題で役立ちます。ここでの考え方は、 \(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}=\frac{a+b}{x},\) なので、このプロセスを逆にして、 \( \frac{a+b}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x}\)
上記の問題では、次のように言えます。

\[\frac{\tan \theta-\cot \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[\frac{ \tan \theta}{\sin \theta \cos \theta}-\frac{\cot \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\sin \theta \cos \theta}-\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \ theta}}{\sin \theta \cos \theta}=\sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ cdot \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}=\秒 ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[\frac{\cancel{\sin \theta}}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\cancel{\ sin \theta} \cos \theta}-\frac{\cancel{\cos \theta}}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta \cancel{\cos \theta}}= \sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[\frac{1}{\cos ^{2} \theta}-\frac{1}{\sin ^{2} \ theta}=\sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta\] \[ \sec ^{2} \theta-\csc ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta -\csc ^{2} \theta
\]

例 4
身元を確認します \(\frac{\tan ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{1-\cos ^{2} \theta}=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \シータ\)
左側の分母の式 \(1-\cos ^{2} \theta\) に注目してください。これを、より単純な式である \(\sin ^{2} \theta,\) に置き換えることができます。多くの場合、分母に複雑な式を使用するよりも単純な式を使用すると便利です。

\[ \begin{配列}{l}
\frac{\tan ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{1-\cos ^{2} \theta}=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \シータ \\
\frac{\tan ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta
\end{配列}
\] 次に、\(\sin ^{2} \theta\) の分母で分数を分割します。
\[ \frac{\tan ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \シータ
\] \[ \frac{\tan ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}-\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}= \sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta
\]

\(\sin ^{2} \theta,\) をキャンセルしたら、ほぼ完了です。
\[ \begin{整列}
\frac{\cancel{\sin ^{2} \theta}}{\cos ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\cancel{\sin ^{2} \theta}}-\cot ^{2} \theta &=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta \\
& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}-\cot ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta \\
& \sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta-\cot ^{2} \theta
\end{整列}
\] このセクションで説明した三角関数の恒等式を以下に要約します。

上記の例と演習では、通常、sin \(\theta\) または \(\cos \theta\) の形式が使用されますが、同じである限り、問題の角度を表すために任意の文字を使用できます。すべての表現における文字。たとえば、次のように言えます。
\[ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1
\] または、次のように言うこともできます

\[ \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1
\] しかし：
\[ \sin ^{2} \theta+\cos^{2} x \neq
\] \(\theta\) と \(x\) は異なる角度になる可能性があるからです。

演習 3.1
各問題で、指定された三角関数の識別を確認します。

1. \(\cos \theta(\sec \theta-\cos \theta) = \sin ^{2} \theta\\[4pt] \)

2. \(\tan \theta(\cot \theta+\tan \theta) = \sec ^{2} \theta\\[4pt] \)

3. \(\tan \theta(\csc \theta+\cot \theta)-\sec \theta = 1\\[4pt] \)

4. \(\cot \theta(\sec \theta+\tan \theta)-\csc \theta = 1\\[4pt] \)

5. \(\tan ^{2} \theta \csc ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta = 1\\[4pt] \)

6. \( \sin ^{2} \theta \cot ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta= 1\\[4pt] \)

7. \(\dfrac{\sin \theta \tan \theta+\sin \theta}{\tan \theta+\tan ^{2} \theta} = \cos \theta\\[4pt] \)

8. \(\dfrac{\cos \theta \cot \theta+\cos \theta}{\cot \theta+\cot ^{2} \theta} = \sin \theta\\[4pt] \)

9. \(\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)^{2}}{\cos \theta}-\sec \theta=2 \sin \theta\\[4pt] \)

10. \( ( \sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2}= 2\\[4pt] \)

11. \(\cos \theta(\tan \theta+\cot \theta) = \csc \theta\\[4pt] \)

12. \(\sin \theta(\cot \theta+\tan \theta) = \sec \theta\\[4pt] \)

13. \(\dfrac{\cos \theta}{\tan \theta}-\csc \theta = -\sin \theta\\[4pt] \)

14.\(\dfrac{\sin\theta}{\cot\theta}-\sec\theta = -\cos\theta\\[4pt] \)

15. \(\dfrac{\csc \theta}{\cos \theta}-\dfrac{\cos \theta}{\csc \theta} = \dfrac{\cot ^{2} \theta+\sin ^{2 } \theta}{\cot \theta}\\[4pt] \)

16. \(\dfrac{\sec \theta+\csc \theta}{\tan \theta+\cot \theta} = \sin \theta+\cos \theta\\[4pt] \)

17. \(\dfrac{\sin \theta}{1+\sin \theta}-\dfrac{\sin \theta}{1-\sin \theta} = -2 \tan ^{2} \theta\\ [4pt] \)

18. \(\dfrac{\cos \theta}{1+\cos\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1-\cos\theta} = -2 \cot^{2}\theta\\ [4pt] \)

19. \(\dfrac{\cot \theta}{1+\csc \theta}-\dfrac{\cot \theta}{1-\csc \theta} = 2 \sec \theta\\[4pt] \)

20. \(\dfrac{\tan \theta}{1+\sec \theta}-\dfrac{\tan \theta}{1-\sec \theta} = 2 \csc \theta\\[4pt] \)

21. \(\dfrac{\sec ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta} = \tan ^{2} \theta\\[4pt] \)

22. \(\dfrac{\csc ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta} = \cot ^{2} \theta\\[4pt] \)

23. \(\sec ^{4} \theta-\sec ^{2} \theta = \tan ^{4} \theta+\tan ^{2} \theta\\[4pt] \)

24. \(\csc ^{4} \theta-\csc ^{2} \theta= \cot ^{4} \theta+\cot ^{2} \theta\\[4pt] \)

25. \(1-\dfrac{\cos ^{2} \theta}{1+\sin \theta} = \sin \theta\\[4pt] \)

26. \(1-\dfrac{\sin ^{2} \theta}{1+\cos \theta} = \cos \theta\\[4pt]\)

27. \(\dfrac{\sec \theta}{\csc \theta} + \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2 \tan \theta\\[4pt]\)

28. \(\dfrac{1-\sin \theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = 2\sec\theta\[4pt]\)

29. \(\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta} = 2\sec\theta\[4pt]\)

30. \(\dfrac{\tan \theta-\cot \theta}{\tan \theta+\cot \theta} = \sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta\\[4pt] \)

31. \(\dfrac{\sec \theta-\cos \theta}{\sec \theta+\cos \theta} = \dfrac{\sin^{2}\theta}{1+\cos^{2}\シータ}\\[4pt]\)

32. \(\dfrac{\sec \theta+\tan \theta}{\cot \theta+\cos \theta} = \tan \theta \sec \theta\\[4pt] \)